행렬식의 성질과 크라메르 공식Properties of Determinants & Cramer's Rule

LINEAR ALGEBRA · SECTION 2.3

행렬식의 성질과 크라메르 공식
Properties of Determinants & Cramer's Rule

행렬식의 기본 성질부터 곱셈 정리, 수반행렬(adjoint)을 이용한 역행렬 공식, 그리고 크라메르 공식까지 — 핵심 정리와 증명을 차근차근 정리합니다.

목차

• 01행렬식의 기본 성질
• 02기본행렬 보조정리
• 03가역성 판정과 곱셈 정리
• 04여인자, 수반행렬, 역행렬 공식
• 05크라메르 공식 (Cramer's Rule)

01

행렬식의 기본 성질

$A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$이고 $k \in \mathbb{R}$일 때, 행렬식의 기본 성질을 살펴봅니다.

스칼라 곱셈

행렬 전체에 스칼라 $k$를 곱하면 각 행마다 $k$가 하나씩 빠져나오므로, $n$개의 행에서 총 $k^n$이 인수로 나옵니다.

$$\det(kA) = k^n \det(A)$$

덧셈에 대한 비가법성

일반적으로 행렬식은 덧셈에 대해 분배되지 않습니다.

$$\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B) \quad \text{(일반적으로)}$$

한 행(열)에 대한 가법성

세 행렬 $A, B, C$가 오직 한 행 $r$에서만 다르고, $C$의 $r$행이 $A$와 $B$의 $r$행의 합이라면 행렬식은 분리됩니다. (열에 대해서도 동일하게 성립)

$$\text{row}_r(C) = \text{row}_r(A) + \text{row}_r(B) \;\Rightarrow\; \det(C) = \det(A) + \det(B)$$

주의: 가법성은 "단 하나의 행(또는 열)만 다를 때"에만 성립합니다. 두 행렬 전체를 더한 $\det(A+B)$와 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

02

기본행렬 보조정리 (Elementary Matrix Lemma)

$E$가 $n\times n$ 기본행렬이고 $B \in \mathbb{R}^{n\times n}$이면 다음이 성립합니다.

$$\det(EB) = \det(E)\det(B)$$

기본행렬 $E$는 단위행렬 $I_n$에 한 번의 기본행연산을 적용해 얻어지며, $E$를 왼쪽에 곱하면 $B$에 같은 행연산이 수행됩니다. 세 가지 경우로 나누어 증명합니다.

Case 1 · 행 스케일링 $R_i \leftarrow kR_i$

$EB$는 $B$의 $i$행에 $k$를 곱한 것이므로 $\det(EB)=k\det(B)$. 또한 $\det(E)=k$. 따라서 $\det(EB)=\det(E)\det(B)$.

Case 2 · 행 교환 $R_i \leftrightarrow R_j$

$EB$는 $B$의 두 행을 교환한 것이므로 $\det(EB)=-\det(B)$. 또한 $\det(E)=-1$. 따라서 등식 성립.

Case 3 · 행 치환 $R_i \leftarrow R_i + kR_j$

행 치환은 행렬식을 바꾸지 않으므로 $\det(EB)=\det(B)$. 또한 $\det(E)=1$. 따라서 등식 성립.

반복 적용: 여러 기본행렬 $E_1,\dots,E_r$에 대해 다음으로 확장됩니다. $$\det(E_1E_2\cdots E_rB) = \det(E_1)\det(E_2)\cdots\det(E_r)\det(B)$$

03

가역성 판정과 곱셈 정리

행렬식을 이용한 가역성 판정

$$A \text{ 가역} \iff \det(A) \neq 0, \qquad A \text{ 특이(singular)} \iff \det(A)=0$$

행렬 $A$에 비례하는 두 행 또는 두 열이 있으면 $\det(A)=0$이 되어 $A$는 가역이 아닙니다.

행렬식의 곱셈 정리

$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$

증명 — 두 경우로 분리

Case 1 ($A$가 비가역): $A$가 비가역이면 $AB$도 비가역입니다(대우 이용). 따라서 $\det(A)=0$, $\det(AB)=0$이므로 $\det(AB)=0=\det(A)\det(B)$.

Case 2 ($A$가 가역): 가역행렬 $A$는 기본행렬의 곱 $A=E_1E_2\cdots E_r$로 표현됩니다. 그러면 $AB=E_1\cdots E_rB$이고, 기본행렬 보조정리를 반복 적용하면 $\det(AB)=\det(E_1)\cdots\det(E_r)\det(B)=\det(A)\det(B)$.

곱셈 정리의 따름정리

성질	공식
거듭제곱 ($m \ge 0$)	$\det(A^m) = (\det A)^m$
역행렬	$\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$
음의 거듭제곱	$\det(A^{-m}) = (\det A)^{-m}$

04

여인자, 수반행렬, 역행렬 공식

여인자(Cofactor)

$a_{ij}$의 소행렬식(minor)을 $M_{ij}$라 할 때, 여인자는 부호를 붙여 정의됩니다.

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

여인자 행렬과 수반행렬(Adjoint)

여인자 행렬 $\text{Cof}(A) = [C_{ij}]$의 전치가 수반행렬입니다.

$$\operatorname{adj}(A) = \text{Cof}(A)^T$$

행-여인자 직교성 (Row Cofactor Orthogonality)

$i \neq j$일 때, 한 행의 성분과 다른 행의 여인자를 곱해 더하면 0이 됩니다.

$$\sum_{k=1}^{n} a_{ik}C_{jk} = 0 \quad (i \neq j)$$

증명 아이디어

$A$의 $j$행을 $i$행으로 바꾼 행렬 $B$를 만들면, $B$는 $i$행과 $j$행이 동일하므로 $\det(B)=0$입니다. $B$를 $j$행으로 여인자 전개하면 그 여인자는 $A$의 $C_{jk}$와 같으므로, $\sum_k a_{ik}C_{jk}=\det(B)=0$이 됩니다.

핵심 여인자 항등식

$i=j$일 때는 여인자 전개로 $\det(A)$가 되고, $i\neq j$일 때는 직교성으로 0이 됩니다. 이를 종합하면:

$$A\,\operatorname{adj}(A) = \det(A)\,I_n$$

수반행렬을 이용한 역행렬 공식

$A$가 가역이면 $\det(A)\neq 0$이므로 위 항등식에서 다음을 얻습니다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$$

$2\times 2$ 특수 경우: $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$, $\det(A)=ad-bc$일 때 $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} \quad (ad-bc\neq 0)$$

05

크라메르 공식 (Cramer's Rule)

연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ($A\in\mathbb{R}^{n\times n}$)에서 $\det(A)\neq 0$이면 유일한 해가 존재합니다.

$A_j$를 $A$의 $j$번째 열을 $\mathbf{b}$로 바꾼 행렬이라 하면, 해의 각 성분은 다음과 같이 행렬식의 비율로 표현됩니다.

$$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \qquad j = 1, 2, \dots, n$$

핵심 정리: 크라메르 공식은 연립방정식의 해를 행렬식의 비율로 직접 구할 수 있게 해줍니다. 단, $\det(A)\neq 0$ (즉 $A$가 가역)일 때만 적용 가능하며, 차원이 커질수록 계산량이 급격히 늘어나 실제 수치 계산보다는 이론적·소규모 문제에 유용합니다.

선형대수 강의 노트 정리 · Section 2.3 — Determinants & Cramer's Rule