유클리드 벡터 공간벡터 · 노름 · 내적 · 직교성

LINEAR ALGEBRA · EUCLIDEAN VECTOR SPACES

유클리드 벡터 공간
벡터 · 노름 · 내적 · 직교성

$\mathbb{R}^n$ 공간에서의 벡터 연산부터 노름(길이), 단위벡터, 내적(dot product), 코시-슈바르츠 부등식, 그리고 직교성까지 기하와 대수를 함께 정리합니다.

목차

• 01벡터와 좌표 — $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n$
• 02벡터 연산과 선형결합
• 03노름, 단위벡터, 거리
• 04내적 (Dot Product)
• 05코시-슈바르츠 부등식과 기하
• 06직교성 (Orthogonality)

01

벡터와 좌표

기하적 벡터

기하적 벡터는 크기(길이)와 방향을 가집니다. 시작점 $A$, 끝점 $B$를 가지면 $\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}$로 씁니다. 길이와 방향이 같은 벡터는 동등($\mathbf{v}=\mathbf{w}$)하며, 영벡터는 길이가 0입니다.

두 점으로 결정되는 벡터

두 점 $P_1, P_2$가 주어지면 벡터는 끝점에서 시작점을 빼서 구합니다.

$$\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; \dots)$$

평행 벡터

두 영이 아닌 벡터 $\mathbf{v}, \mathbf{w}$가 평행할 필요충분조건은 어떤 스칼라 $k$에 대해 $\mathbf{w}=k\mathbf{v}$인 것입니다.

02

벡터 연산과 선형결합

$\mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)$, $\mathbf{w}=(w_1,\dots,w_n)$에 대해 연산은 성분별로 정의됩니다.

$$\mathbf{v}+\mathbf{w} = (v_1+w_1,\dots,v_n+w_n), \qquad k\mathbf{v} = (kv_1,\dots,kv_n)$$

벡터의 대수 법칙

$\mathbb{R}^n$의 벡터들은 교환·결합법칙, 영벡터·역벡터의 존재, 분배법칙 등을 만족합니다.

교환법칙

$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$

결합법칙

$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

분배법칙 ①

$k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$

분배법칙 ②

$(k+m)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+m\mathbf{u}$

선형결합 (Linear Combination)

벡터 $\mathbf{w}$가 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_r$의 선형결합이라는 것은 스칼라 $k_1,\dots,k_r$가 존재하여 다음이 성립함을 뜻합니다.

$$\mathbf{w} = k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 + \cdots + k_r\mathbf{v}_r$$

벡터 표기법: 콤마 형태 $(v_1,\dots,v_n)$, 행벡터 $[\,v_1\;v_2\;\cdots\;v_n\,]$, 열벡터(세로 배열) 세 가지로 표현할 수 있습니다.

03

노름, 단위벡터, 거리

노름 (Norm / 길이)

$\mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)$의 노름(길이, 크기)은 다음과 같이 정의됩니다.

$$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$

성질	내용
비음성	$\|\mathbf{v}\| \ge 0$
영 조건	$\|\mathbf{v}\| = 0 \iff \mathbf{v}=\mathbf{0}$
스칼라배	$\|k\mathbf{v}\| = |k|\,\|\mathbf{v}\|$

단위벡터와 정규화

노름이 1인 벡터를 단위벡터라 합니다. $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$이면 같은 방향의 단위벡터는 다음과 같이 얻으며, 이를 정규화(normalizing)라 합니다.

$$\mathbf{u} = \frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}$$

표준 단위벡터

$\mathbb{R}^n$의 표준 단위벡터 $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n$을 이용하면 임의의 벡터를 전개할 수 있습니다.

$$\mathbf{v} = v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + \cdots + v_n\mathbf{e}_n$$

$\mathbb{R}^3$에서는 $\mathbf{i}=(1,0,0)$, $\mathbf{j}=(0,1,0)$, $\mathbf{k}=(0,0,1)$로 쓰며, $(v_1,v_2,v_3)=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k}$.

유클리드 거리

두 점 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 거리는 차 벡터의 노름입니다.

$$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\| = \sqrt{(u_1-v_1)^2 + \cdots + (u_n-v_n)^2}$$

04

내적 (Dot Product)

기하적 정의

영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 각을 $\theta$라 하면:

$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta, \qquad \cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$$

내적의 부호와 각

📐

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0$
예각 ($\theta$ acute)

⊥

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$
직각 ($\theta=\pi/2$)

📐

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$
둔각 ($\theta$ obtuse)

성분 정의

$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n$$

내적으로 노름을 표현할 수 있습니다: $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_1^2+\cdots+v_n^2=\|\mathbf{v}\|^2$, 따라서 $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}$.

내적의 대수적 성질

성질	공식
대칭성	$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$
분배법칙	$\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$
스칼라배	$k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) = (k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot(k\mathbf{v})$
양의 정부호성	$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} \ge 0$, 등호는 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$일 때

행렬 곱셈과의 관계: 열벡터 $\mathbf{u},\mathbf{v}$에 대해 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}^T\mathbf{v}=\mathbf{v}^T\mathbf{u}$. 또한 $(A\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot(A^T\mathbf{v})$가 성립하여 내적과 전치가 밀접하게 연결됩니다.

05

코시-슈바르츠 부등식과 기하

코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy–Schwarz)

$$|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}| \le \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|$$

이 부등식 덕분에 $-1\le \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\le 1$이 보장되어, $\mathbb{R}^n$에서도 두 벡터 사이의 각을 정의할 수 있습니다.

$$\theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}\right), \quad 0 \le \theta \le \pi$$

주요 기하 항등식

이름	공식
삼각 부등식	$\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$
평행사변형 등식	$\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2 = 2(\|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2)$
편극 항등식	$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \tfrac{1}{4}\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 - \tfrac{1}{4}\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2$

편극 항등식의 의미: 내적을 노름만으로 표현할 수 있음을 보여줍니다. 즉 길이 정보만 있으면 내적(따라서 각도)도 복원할 수 있다는 뜻입니다.

06

직교성 (Orthogonality)

두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$가 직교한다는 것은 내적이 0임을 의미합니다.

$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \mathbf{u}\perp\mathbf{v}$$

영벡터는 모든 벡터와 직교하며($\mathbf{0}\cdot\mathbf{v}=0$), 표준 단위벡터는 서로 직교합니다.

$$\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = 0 \ (i\neq j), \qquad \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_i = 1$$

정리: 표준 단위벡터들은 서로 직교하면서 각각 길이가 1인 정규직교(orthonormal) 집합을 이룹니다. 이 성질은 이후 기저(basis)와 직교투영을 다룰 때 핵심적인 역할을 합니다.

선형대수 강의 노트 정리 · Euclidean Vector Spaces — Norm, Dot Product, Orthogonality