실벡터공간Real Vector Spaces

LINEAR ALGEBRA · SECTION 4.1

실벡터공간
Real Vector Spaces

벡터공간을 정의하는 10개의 공리부터 다양한 예시(행렬·함수·수열 공간), 비예시, 비표준 연산을 가진 특이한 벡터공간, 그리고 파생 성질의 증명까지 정리합니다.

목차

• 01벡터공간의 정의
• 02벡터공간의 10가지 공리
• 03벡터공간 검증 방법
• 04기본 예시들
• 05비예시와 특이한 벡터공간
• 06파생 성질과 증명

01

벡터공간의 정의

실벡터공간(real vector space)은 두 가지 연산이 정의된 공집합이 아닌 집합 $V$입니다.

$$\text{덧셈: } V\times V\to V, \quad (\mathbf{u},\mathbf{v})\mapsto \mathbf{u}+\mathbf{v}$$ $$\text{스칼라 곱: } \mathbb{R}\times V\to V, \quad (k,\mathbf{u})\mapsto k\mathbf{u}$$

$V$의 원소를 벡터(vector), 실수를 스칼라(scalar)라 부릅니다.

핵심 관점: 벡터공간의 '벡터'는 화살표만이 아닙니다. 10개 공리를 만족하면 무엇이든 벡터가 됩니다. $n$-튜플, 무한 수열, 행렬, 함수 모두 벡터가 될 수 있습니다.

02

벡터공간의 10가지 공리

모든 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$와 스칼라 $k,m\in\mathbb{R}$에 대해 다음 10개 공리가 성립해야 합니다.

중요: 공리는 증명하는 것이 아닙니다! 모든 벡터공간은 이 공리들을 만족한다고 전제합니다.

1

덧셈 닫힘$\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$

2

덧셈 교환$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$

3

덧셈 결합$\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}$

4

영벡터 존재$\exists\,\mathbf{0}:\ \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}$

5

역벡터 존재$\exists\,(-\mathbf{u}):\ \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}$

6

스칼라곱 닫힘$k\mathbf{u}\in V$

7

벡터합 분배$k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$

8

스칼라합 분배$(k+m)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+m\mathbf{u}$

9

스칼라곱 호환$k(m\mathbf{u})=(km)\mathbf{u}$

10

곱셈 항등원$1\mathbf{u}=\mathbf{u}$

03

벡터공간 검증 방법

어떤 집합 $V$와 두 연산이 벡터공간인지 확인하려면 다음 순서를 따릅니다.

1

집합 $V$를 명확히 식별한다.

2

벡터 덧셈과 스칼라 곱셈이 무엇인지 식별한다.

3

닫힘성을 검증한다: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$, $k\mathbf{u}\in V$.

4

나머지 8개의 공리를 검증한다.

04

기본 예시들

예시 1 · 영벡터공간

$V=\{\mathbf{0}\}$, $\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, $k\mathbf{0}=\mathbf{0}$. 가장 단순한 벡터공간입니다.

예시 2 · $\mathbb{R}^n$

$n$-튜플 $\mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n)$에 대해 성분별 덧셈과 스칼라 곱을 정의하면 벡터공간이 됩니다.

예시 3 · 무한 수열 $\mathbb{R}^\infty$

모든 무한 실수열 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots)$의 집합. 성분별 연산으로 벡터공간을 이룹니다.

예시 4 · 행렬 공간 $M_{mn}$

$m\times n$ 실행렬 전체. 일반적인 행렬 덧셈·스칼라 곱으로 $A+B\in M_{mn}$, $kA\in M_{mn}$. 영벡터는 영행렬, $\mathbf{u}$의 역은 각 성분의 부호를 바꾼 행렬입니다.

예시 5 · 함수 공간 $F(-\infty,\infty)$

$\mathbb{R}$ 위의 실숫값 함수 전체. $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(kf)(x)=kf(x)$로 정의하면 벡터공간. 영벡터는 $0(x)=0$, 역은 $(-f)(x)=-f(x)$. 구간 위의 함수공간 $F[a,b]$, $F(a,b)$도 마찬가지입니다.

05

비예시와 특이한 벡터공간

비예시 — 공리가 깨지는 경우

$V=\mathbb{R}^2$에 일반적인 덧셈을 쓰되, 스칼라 곱을 $k\mathbf{u}=(ku_1, 0)$으로 정의하면 공리 10이 깨집니다.

$$1\mathbf{u} = 1(u_1,u_2) = (u_1, 0) \neq (u_1,u_2) = \mathbf{u} \quad (u_2\neq 0)$$

결론: 곱셈 항등원 공리($1\mathbf{u}=\mathbf{u}$)가 성립하지 않으므로 이 $V$는 벡터공간이 아닙니다. 단 하나의 공리만 깨져도 벡터공간 자격을 잃습니다.

특이한 벡터공간 — 비표준 연산

양의 실수 집합 $V=\{u\in\mathbb{R}: u>0\}$에서 덧셈을 곱셈으로, 스칼라 곱을 거듭제곱으로 정의합니다.

$$\mathbf{u}+\mathbf{v} = uv, \qquad k\mathbf{u} = u^k$$

놀랍게도 이 비표준 연산 하에서 $V$는 벡터공간이 됩니다.

0

영벡터는 $1$: $\mathbf{u}+0 = u\cdot 1 = u$

−

역벡터는 $\tfrac{1}{u}$: $\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = u\cdot\tfrac{1}{u} = 1 = \mathbf{0}$

÷

분배법칙: $k(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (uv)^k = u^k v^k = (k\mathbf{u})+(k\mathbf{v})$

시사점: 벡터공간인지 여부는 집합 자체가 아니라 정의된 연산에 달려 있습니다. 익숙하지 않은 연산이라도 10개 공리를 만족하면 어엿한 벡터공간입니다.

06

파생 성질과 증명

벡터공간 $V$, $\mathbf{u}\in V$, $k\in\mathbb{R}$에 대해 다음 네 가지 성질이 공리로부터 유도됩니다.

$$\text{(a) } 0\mathbf{u}=\mathbf{0}, \quad \text{(b) } k\mathbf{0}=\mathbf{0}, \quad \text{(c) } (-1)\mathbf{u}=-\mathbf{u}, \quad \text{(d) } k\mathbf{u}=\mathbf{0}\Rightarrow k=0 \text{ 또는 } \mathbf{u}=\mathbf{0}$$

증명 (a) — $0\mathbf{u}=\mathbf{0}$

공리 8에 의해 $0\mathbf{u}+0\mathbf{u}=(0+0)\mathbf{u}=0\mathbf{u}$. 양변에 $-(0\mathbf{u})$를 더하면 $0\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, 따라서 $0\mathbf{u}=\mathbf{0}$.

증명 (c) — $(-1)\mathbf{u}=-\mathbf{u}$

$\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=1\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=(1+(-1))\mathbf{u}=0\mathbf{u}=\mathbf{0}$ (공리 10, 8 이용). 따라서 $(-1)\mathbf{u}$는 $\mathbf{u}$의 역벡터이므로 $(-1)\mathbf{u}=-\mathbf{u}$.

증명 (d) — $k\mathbf{u}=\mathbf{0}\Rightarrow k=0$ 또는 $\mathbf{u}=\mathbf{0}$

$k\mathbf{u}=\mathbf{0}$이라 하자. $k=0$이면 끝. $k\neq 0$이면 $\tfrac{1}{k}$가 존재하므로 양변에 곱하면 $\tfrac{1}{k}(k\mathbf{u})=\tfrac{1}{k}\mathbf{0}$, 즉 $1\mathbf{u}=\mathbf{0}$이므로 $\mathbf{u}=\mathbf{0}$.

핵심 관점: 집합 $V$가 벡터공간 공리를 만족하면 그 원소를 벡터로 취급할 수 있습니다. 따라서 일반 벡터공간에 대해 증명된 정리는 모든 벡터공간(화살표·튜플·수열·행렬·함수)에 동시에 적용됩니다. 이것이 추상 벡터공간 이론의 강력함입니다.

선형대수 강의 노트 정리 · Section 4.1 — Real Vector Spaces